第二章 点、直线、平面之间的位置关系

（一）  平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界

1.1三个定理与三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

用途：常用于证明直线在平面内.

图形语言：                            符号语言：

公理2：不共线的三点确定一个平面.  图形语言：

推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.  图形语言：

推论2：两条相交直线确定一个平面.  图形语言：

推论3：两条平行直线确定一个平面.  图形语言：

用途：用于确定平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.

用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.

图形语言：                            符号语言：

形语言，文字语言，符号语言的转化：

（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：

1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

            （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。

图形语言：  符号语言：

1.4异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.

如右图，在空间任取一点O，过O作，则所成的角为异面直线所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.

2.直线与平面的位置关系：

图形语言：

3.平面与平面的位置关系：

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理：（线线平行线面平行）【如图】

③性质定理：（线面平行线线平行）【如图】

④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：（用于判断）；（ii）判定定理：“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii）“面面平行线面平行”（用于证明）；（4）（用于判断）；

2.线面斜交：

①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 于O，则AO是PA在平面内的射影， 则就是直线PA与平面所成的角。

范围：，注：若，则直线与平面所成的角为；若，则直线与平面所成的角为。

3.面面平行：

①定义：；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：    【如下图①】

    图①               图②

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行

符号表述： 【如上图②】

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.【如右图】

③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2

④面面平行的性质：（1）（面面平行线面平行）；（2）；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

  符号表述：若任意都有，且，则.

②判定定理：（线线垂直线面垂直）

③性质：（1）（线面垂直线线垂直）；（2）；

④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）（较常用）；（4）；（5）（面面垂直线面垂直）常用；

⑤三垂线定理及逆定理：

（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，（1）斜线相等射影相等；（2）斜线越长射影越长；（3）垂线段最短。【如图】；

（II）三垂线定理及逆定理：已知，斜线PA在平面内的射影为OA，，

  ①若，则——垂直射影垂直斜线，此为三垂线定理；

  ②若，则——垂直斜线垂直射影，此为三垂线定理的逆定理；

  三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】

3.2面面斜交

①二面角：（1）定义：【如图】

范围：

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.

3.3面面垂直

（1）定义：若二面角的平面角为，则；

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

（线面垂直面面垂直）

（3）性质：①若，二面角的一个平面角为，则；

②（面面垂直线面垂直）；

③.          ④

二、立体几何常见题型归纳例讲

1、概念辨析题：

（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。

（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。

（3）相关例题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下：

例：（04年北京卷）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个说法：①；②；③

     ④，说法正确的序号是：_________________

2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。

（1）基础知识网络：

请根据以上知识网络图，写出相关定理的图形语言与符号语言.

（2）相关例题：

例1（06广州市高一质量抽测）如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1

例2.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积（答案：）

3、计算题。包括空间角（异面直线所成的角，线面角，二面角）和空间几何体的表面积、体积的计算。

（1）对于空间角和空间距离的计算，关键是做好“三步曲”：step1：找；step2：证；step3：计算。

1.1求异面直线所成的角：

解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法

  二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；

  三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

1.2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足

 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；

  二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；

 三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

1.3求二面角的平面角

解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；

 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；

 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

（2）对于几何体的表面积、体积的计算，关键是搞清量与量之间关系，熟练应用公式进行计算。已知三视图，求几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。

（3）相关例题：

例1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；

（2）求PC与平面PBD所成的角；

例2．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角

三角形，若，那么原DABO的面积是（   ）

A．         B．        C．         D．

例3.（06深圳宝安中学期末考）如图，为一个几何体的正视图，侧视图和俯视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为，。俯视图中，内、均外为正方形，边长分别为，，几何体的高为，求此几何体的表面积和体积。

答案S全面积=20+12,

例4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 （B）                       

(A) 90°              (B) 60°

(C) 45°              (D) 30°

例5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点.（1）求证：；（2）求证：平面AEC；（3）若，求三棱锥E－ACD的体积；（4）求二面角E－AC－D的大小.（单元考题）